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UVa 11119 - Chemical Attraction

contents

  1. 1. Problem
  2. 2. Sample Input
  3. 3. Sample Output
  4. 4. Solution

Problem

給予由陰陽離子構成的化合物，混和後會根據活性表發生變化，求其中一種穩定態。

所謂的穩定態，就是不會兩個化合物之間可以進行陰陽離子的互換。

Sample Input

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Ba Sr Th
3
Cl Br Fl
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 1 3
1 3 2
1 2 3
3
BaFl SrBr ThCl
5
BaFl BaFl SrFl SrCl ThFl
0
3
Na Ag Fe
5
Su Zi Xe Ar Do
1 2 4 3 5
5 3 1 2 4
2 3 1 4 5
3 2 1
3 2 1
1 3 2
1 2 3
2 1 3
10
NaDo AgDo AgAr FeXe NaXe
AgZi AgZi NaSu AgSu FeDo
0
0

Sample Output

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Scenario 1, Mixture 1:
BaCl SrBr ThFl
Scenario 1, Mixture 2:
BaFl BaCl SrFl SrFl ThFl
Scenario 2, Mixture 1:
NaDo AgSu AgSu FeDo NaXe AgZi AgZi NaXe AgAr FeDo

Solution

一個經典的穩定婚姻問題 (stable marriage problem)，可以用 Gale-Shapley algorithm 解決匹配兩邊個數相同的穩定婚姻。穩定婚姻有兩組最優解，其中一組最優解於男方、另外一組為女方，其最優解即為候選的排序為字典順序最小的。

假設現在要給男方一個最優解，那麼根據貪心的思路，男方要不斷地按照排名清單去向女方求婚，如果女方心中對求婚男方的排名更好，則男方求婚成功，而前男友就會被拋棄，被拋棄的男方將會根據清單再找下去。做法類似增廣路徑。

為什麼這樣能趨近穩定呢？原因是這樣子的，由於男方不斷地求婚，女方配對男方的排名會越來越好，男方被拋棄後，求婚對象則會越來越差。

假定男方為 A, B，女方為 1, 2，優先順序為括弧內，越靠前表示順位越高。

1
2
A(1, 2) - 1(B, A)
B(1, 2) - 2(A, B)

假如 A - 1 和 B - 2，則女 1 更喜歡男 A，女 2 更喜歡男 B，男方中也更喜歡對方的配偶 (這個例子中是相同)，而造成配對交換，這即為不穩定婚姻。

解決會交換的情況。當嘗試配對一對男女時，如何保證不會發生循環交換？當男主被某女拋棄，則表示某女心中有一個更好的某男。男方按照順序求婚，就不會發生男方中會更喜歡對方的配偶而交換。

單看女方，了解到拋棄的動作是有限的，算法就能在 O(N^2) 解決。

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// Gale-Shapley algorithm, stable marriage problem
#include <stdio.h>
#include <map>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 256;
class GaleShapley { // produce the best possible choice for the mans
public:
    int mOrder[MAXN][MAXN], fOrder[MAXN][MAXN];
    int fPref[MAXN][MAXN];
    int man[MAXN], woman[MAXN];
    int N;
    void init(int n) {
        N = n;
    }
    void stable() {
        int mIdx[MAXN];
        for (int i = 0; i < N; i++)
            man[i] = woman[i] = -1, mIdx[i] = 0;
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            for (int j = 0; j < N; j++)
                fPref[i][fOrder[i][j]] = j;
        }
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            int m = i, w;
            while (m >= 0) {
                w = mOrder[m][mIdx[m]++];
                while (m >= 0 && (woman[w] == -1 || fPref[w][woman[w]] > fPref[w][m])) {
                    man[m] = w;
                    swap(m, woman[w]);
                }
            }
        }
    }
} g;
char s[MAXN];
int tA[MAXN][MAXN], tB[MAXN][MAXN], rtA[MAXN][MAXN], rtB[MAXN][MAXN];
int main() {
    int N, M, x, n;
    int cases = 0;
    while (scanf("%d", &N) == 1 && N) {
    	map<string, int> Rn, Rm;
        for (int i = 0; i < N; i++)
        	scanf("%s", s), Rn[s] = i;
        scanf("%d", &M);
        for (int i = 0; i < M; i++)
        	scanf("%s", s), Rm[s] = i;
    	
    	for (int i = 0; i < N; i++)
    		for (int j = 0; j < M; j++)
    			scanf("%d", &tA[i][j]), tA[i][j]--, rtA[i][tA[i][j]] = j;
    	for (int i = 0; i < M; i++)
    		for (int j = 0; j < N; j++)
    			scanf("%d", &tB[i][j]), tB[i][j]--, rtB[i][tB[i][j]] = j;
    	++cases;
    	int tcases = 0;
    	while (scanf("%d", &n) == 1 && n) {
    		vector<string> A, B;
    		for (int i = 0; i < n; i++) {
    			scanf("%s", s);
    			string a(2, 'a'), b(2, 'a');
    			a[0] = s[0], a[1] = s[1];
    			b[0] = s[2], b[1] = s[3];
    			A.push_back(a), B.push_back(b);
    		}
    		g.init(n);
    		
    		for (int i = 0; i < n; i++) {
    			vector< pair<int, int> > p;
    			int u = Rn[A[i]], v;
    			for (int j = 0; j < n; j++) {
    				v = Rm[B[j]];
    				p.push_back(pair<int, int>(tA[u][v], j));
    			}
    			sort(p.begin(), p.end(), greater< pair<int, int> >());
    			for (int j = 0; j < n; j++) {
    				g.mOrder[i][j] = p[j].second;
//    				printf("%d ", p[j].second);
    			}
//    			puts(" -m");
    		}
    		
    		for (int i = 0; i < n; i++) {
    			vector< pair<int, int> > p;
    			int u = Rm[B[i]], v;
    			for (int j = 0; j < n; j++) {
    				v = Rn[A[j]];
    				p.push_back(pair<int, int>(tB[u][v], j));
    			}
    			sort(p.begin(), p.end(), greater< pair<int, int> >());
    			for (int j = 0; j < n; j++) {
    				g.fOrder[i][j] = p[j].second;
//    				printf("%d ", p[j].second);
    			}
//    			puts(" -f");
    		}
    		
    		g.stable();
    		
    		printf("Scenario %d, Mixture %d:\n", cases, ++tcases);
    		for (int i = 0; i < n; i++) {
    			int m = g.man[i];
    			if (i)	printf(" ");
    			printf("%s%s", A[i].c_str(), B[m].c_str());
    		}
    		puts("\n");
    	}
    }
    return 0;
}
/*
 */